تبلیغات
معماهای معماری - معادله حرارت

معادله حرارت

معادلهٔ حرارت (Heat equation) یک معادله دیفرانسیل پاره‌ای خطی است. در حالت یک‌بعدی و با زمان، این معادلهٔ کلاسیک به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

u_t = k u_{xx} \,

که در این‌جا،  u(x, t) \!  دما به صورت یک‌بعدی، و k \!  ضریب مثبت و ثابتی است، که میزان ضریب نفوذ هدایتی گرما را نشان می‌دهد.

معادلات دیفرانسیل سهموی:

معادلات دیفرانسیل سهموی به‌عنوان مدل‌های ریاضی حاکم بر فرایندهای پخش و نشر، یا به‌زبانی عمومی‌تر، فرایندهای برگشت‌ناپذیروابسته به‌زمان کاربردهای فراوان و متنوعی پیدا می‌کنند. ساده‌ترین نمونه از این‌گونه معادلات، معادلهٔ حرارت است.

جواب‌های بنیادین :

جواب بنیادین، به‌نتیجهٔ حل معادلهٔ حرارت، در قبال شرط اولیهٔ منبعی نقطه‌ای از گرما واقع در نقطهٔ مکانی معلوم اطلاق می‌شود. در حالت یک‌بعدی (x \!) داریم:

\begin{cases}
u_t(x,t) - k u_{xx}(x,t) = 0& -\infty<x<\infty,\quad 0<t<\infty\\
u(x,t=0)=\delta(x)&
\end{cases}

که در اینجا  \delta \! همان تابع دلتای دیراک (به مفهوم بار حرارتی نقطه‌ای) است. حل این مسئله، همان جواب بنیادین را به‌دست خواهد داد:

\Phi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}\exp\left(-\frac{x^2}{4kt}\right).


با در دست داشتن این جواب، همواره می‌توان حل معادله یک‌بعدی حرارت را به ازاء هر شرط اولیهٔ معلوم با کانولوشن به‌دست آورد:

u(x,t) = \int \Phi(x-y,t) g(y) dy.



youbank sabet بنر های تبلیغاتی سایت

بخش نظرات
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر